Szczegóły ebooka

Algebra i jej zastosowania

Algebra i jej zastosowania

Anna Romanowska

Ebook

Podręcznik do wykładów z algebry na Wydziale Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej powstał na podstawie wykładów „Algebra i jej zastosowania 1, 2” oraz „Wybrane zagadnienia algebry” prowadzonych przez autorkę na tym wydziale przez wiele lat. Zrozumienie książki wymaga od Czytelnika znajomości algebry liniowej oraz elementów logiki i teorii mnogości w zakresie wykładanym na pierwszym roku studiów matematycznych. Podręcznik zawiera podstawowe informacje należące do kanonu jednosemestralnego kursu algebry tradycyjnie wykładanego na większości wydziałów matematycznych, ale materiał jest znacznie obszerniejszy. Poza działami „klasycznymi” dotyczącymi grup, pierścieni przemiennych i ciał omówione są również struktury mniej klasyczne, ale mające coraz większe znaczenie zarówno w algebrze, jak i jej zastosowaniach. Tematy są dobrane w sposób pozwalający na wskazanie pewnych kierunków zastosowań w innych dziedzinach matematyki. Książka zawiera sporo przykładów, brakuje w niej jednak zadań do samodzielnego rozwiązania, których dołączenie planowane jest w przyszłości.

Przedmowa 7

Rozdział 1. Wprowadzenie 9

1.1. Zbiory, funkcje, relacje 11

1.2. Struktury algebraiczne 14

Rozdział 2. Półgrupy i monoidy 19

2.1. Własności podstawowe 19

2.2. Wolne półgrupy i monoidy 26

2.3. Półgrupy i kody 28

2.4. Monoidy cykliczne i układy dynamiczne 30

2.5. Działanie monoidu na zbiorze 31

2.6. Półgrupy i automaty 32

Rozdział 3. Algebry abstrakcyjne 37

3.1. Pojęcie algebry abstrakcyjnej 37

3.2. Algebry trywialne, unarne i binarne 37

3.3. Grupy 38

3.4. Quasigrupy 44

3.5. Pierścienie 45

3.6. Moduły i algebry 53

3.7. Półkraty, kraty i algebry Boole’a 54

Rozdział 4. Podstawowe własności algebr abstrakcyjnych 59

4.1. Podalgebry 59

4.2. Homomorfizmy 62

4.3. Kongruencje 65

4.4. Homomorfizmy i kongruencje grup 69

4.5. Działania grup na zbiorach 70

4.6. Homomorfizmy i kongruencje pierścieni 79

4.7. Iloczyny algebr 82

Rozdział 5. Kraty i algebry Boole’a

5.1. Kraty rozdzielne i modularne 87

5.2. Reprezentacje krat rozdzielnych i algebr Boole’a 92

5.3. Wolne algebry Boole’a 100

Rozdział 6. Pierścienie przemienne i ciała 107

6.1. Ideały i pierścienie ilorazowe 107

6.2. Pierścienie Euklidesa 112

6.3. Kongruencje liniowe 116

6.4. Pierścienie z jednoznacznym rozkładem 119

6.5. Rozszerzenia ciał 122

6.6. Ciała skończone 126

6.7. Kody wykrywające i korygujące błędy 130

Rozdział 7. Grupy 139

7.1. Półgrupy, monoidy i grupy wolne 139

7.2. Rozkłady grup na iloczyny i sumy 143

7.3. Działania monoidów i grup na zbiorach 148

7.4. p-grupy i twierdzenia Sylova 162

Rozdział 8. Reprezentacje liniowe grup skończonych 171

8.1. Pojęcia wstępne 172

8.2. Podreprezentacje i sumy proste 179

8.3. Reprezentacje rozkładalne i nierozkładalne 183

8.4. Charakter reprezentacji 186

8.5. Relacja ortogonalności dla charakterów 189

8.6. Rozkład reprezentacji regularnej 192

8.7. Liczba reprezentacji nierozkładalnych 194

8.8. Reprezentacje grup przemiennych 196

Rozdział 9. Quasigrupy 199

9.1. Quasigrupy i lupy 199

9.2. Homotopie i izotopie quasigrup 204

9.3. Quasigrupy a konfiguracje kombinatoryczne 209

Bibliografia 219

Indeks 221

Indeks symboli 229

  • Tytuł: Algebra i jej zastosowania
  • Autor: Anna Romanowska
  • ISBN: 978-83-8156-446-5, 9788381564465
  • Data wydania: 2022-09-01
  • Format: Ebook
  • Identyfikator pozycji: e_2w5b
  • Wydawca: Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej