Szczegóły ebooka

Metody numeryczne

Metody numeryczne

Piotr Tatjewski

EBOOK
Kup pozycję na ebookpoint.pl

Prezentowane drugie wydanie niniejszego podręcznika niewiele odbiega od wydania pierwszego opublikowanego w roku 2013. Skorygowano jedynie nieliczne usterki zauważone od chwili ukazania się pierwszego wydania i poprawiane na bieżąco w kolejnych latach w uzupełnianych i udostępnianych erratach, ponadto dokonano bardzo niewielu poprawek tekstu i rysunków.
Oryginalna wersja niniejszego podręcznika (wydanie 1) powstała na podstawie wieloletnich doświadczeń autora w prowadzeniu przedmiotów z zakresu metod numerycznych na Wydziale Elektroniki i Technik Informacyjnych Politechniki Warszawskiej, przede wszystkim przedmiotów "Metody Numeryczne" (dla studentów kierunków Informatyka i Automatyka i robotyka) i "Numerical Methods" (dla studentów studiów w języku angielskim Electrical and Computer Engineering). Powstała jako podsumowanie i rozszerzenie wielu poprzednich materiałów do wykładów, sukcesywnie doskonalonych i na bieżąco dostępnych dla studentów na wydziałowych stronach przedmiotów.
Autor chciałby w tym miejscu podziękować wszystkim studentom aktywnie uczestniczącym w prowadzonych zajęciach, za zgłaszane uwagi do sposobu prezentacji, za wykrywane usterki edycyjne. Uwagi te w istotnym stopniu przyczyniły się do poprawy jakości niniejszego opracowania.

Przedmowa (do wydania 2) 9

Rozdział 1. Pojęcia podstawowe 11

1.1. Maszynowa reprezentacja liczb, błędy reprezentacji 11

1.2. Arytmetyka zmiennopozycyjna 14

1.3. Uwarunkowanie zadania 17

1.4. Algorytm i jego numeryczne realizacje 23

1.5. Stabilność numeryczna algorytmów 24

Rozdział 2. Układ równań liniowych, rozkłady trójkątne macierzy 29

2.1. Normy wektorów i macierzy 29

2.2. Uwarunkowanie macierzy, układu równań liniowych 32

2.3. Eliminacja Gaussa, rozkład LU 33

2.3.1. Układ równań z macierzą trójkątną 34

2.3.2. Eliminacja Gaussa 35

2.3.3. Rozkład LU macierzy 37

2.3.4. Eliminacja Gaussa z wyborem elementu głównego 40

2.3.5. Iteracyjne poprawianie rozwiązania 48

2.3.6. Metoda eliminacji zupełnej (Gaussa-Jordana) 48

2.4. Rozkład Cholesky’ego – Banachiewicza (LLT) 49

2.4.1. Rozkład LLT 49

2.4.2. Rozkład LDLT, relacje między rozkładami trójkątnymi 51

2.5. Obliczanie wyznacznika i macierzy odwrotnej 53

2.6. Iteracyjne rozwiązywanie układu równań liniowych 56

2.6.1. Metoda Jacobiego 58

2.6.2. Metoda Gaussa-Seidela 59

2.6.3. Testy stopu 60 

Rozdział 3. Rozkład QR, wartości własne i szczególne 63

3.1. Rozkład ortogonalno-trójkątny (QR) macierzy 63

3.2. Wyznaczanie wartości własnych 69

3.2.1. Podstawowe definicje i własności (przypomnienie) 69

3.2.2. Metoda QR znajdowania wartości własnych 73

3.3. Wartości szczególne, dekompozycja SVD 79

3.4. Liniowe zadanie najmniejszych kwadratów 81

3.5. Przekształcenie Givensa, z zastosowaniami 85

3.5.1. Przekształcenie (obrót) Givensa 85

3.5.2. Metoda Jacobiego wyznaczania wartości własnych macierzy symetrycznej 87

3.5.3. Rozkład QR macierzy obrotami Givensa 89

3.6. Przekształcenie Householdera, z zastosowaniami 90

3.6.1. Przekształcenie (odbicie) Householdera 90

3.6.2. Rozkład QR macierzy odbiciami Householdera 92

3.6.3. Redukcja macierzy do postaci Hessenberga odbiciami Householdera, z zachowaniem podobieństwa 93

Rozdział 4. Aproksymacja 97

4.1. Aproksymacja średniokwadratowa dyskretna 99

4.1.1. Aproksymacja wielomianami w bazie naturalnej 102

4.1.2. Aproksymacja funkcjami z przestrzeni o bazie ortogonalnej 105

4.2. Aproksymacja Padé 107

Rozdział 5. Interpolacja 113

5.1. Interpolacja wielomianami algebraicznymi 114

5.1.1. Wzór interpolacyjny Lagrange’a 115

5.1.2. Wzór interpolacyjny Newtona 116

5.2. Interpolacja funkcjami sklejanymi 122

Rozdział 6. Równania nieliniowe i zera wielomianów 135

6.1. Wyznaczanie zer funkcji nieliniowej 135

6.1.1. Metoda bisekcji (połowienia) 136

6.1.2. Metoda regula falsi 137

6.1.3. Metoda siecznych 139

6.1.4. Metoda Newtona (stycznych) 140

6.1.5. Przykładowa realizacja efektywnego algorytmu 142

6.2. Rozwiązywanie układów równań nieliniowych 143

6.2.1. Metoda Newtona 145

6.2.2. Metoda Broydena 146

6.2.3. Metoda iteracji prostej 147

6.3. Wyznaczanie zer wielomianów 147

6.3.1. Metoda Müllera 148

6.3.2. Metoda Laguerre’a 150

6.3.3. Deflacja czynnikiem liniowym 151

6.3.4. Poprawianie zer (root polishing) 152

6.3.5. Metoda Bairstowa 152

Rozdział 7. Równania różniczkowe zwyczajne 157

7.1. Metody jednokrokowe 163

7.1.1. Metody Rungego-Kutty (RK) 165

7.1.2. Metody Rungego-Kutty-Fehlberga (RKF) 170

7.1.3. Wyznaczanie zmienionej długości kroku 173

7.2. Metody wielokrokowe 175

7.2.1. Metody Adamsa 176

7.2.2. Błąd aproksymacji 178

7.2.3. Stabilność i zbieżność 180

7.2.4. Metody predyktor-korektor 184

7.2.5. Metody predyktor-korektor ze zmiennym krokiem 186

7.3. Równania źle uwarunkowane 192

Rozdział 8. Różniczkowanie i całkowanie numeryczne 199

8.1. Różniczkowanie numeryczne 199

8.2. Całkowanie numeryczne 206

Bibliografia 217