Helion


Szczegóły ebooka

Zastosowanie rachunku wariacyjnego we współczesnej mechanice analitycznej

Zastosowanie rachunku wariacyjnego we współczesnej mechanice analitycznej


W opracowaniu omówiono: podstawy rachunku wariacyjnego, zagadnienia wariacyjne w ogólniejszej postaci, podstawowe pojęcia mechaniki analitycznej, zagadnienia dotyczące energii kinetycznej i potencjalnej, zasady wariacyjne, elementy mechaniki analitycznej w zmiennych kanonicznych, elementy teorii sterowania optymalnego oraz metody przybliżone.

Przedmowa 11

Spis oznaczeń 14

0. PO CO RACHUNEK WARIACYJNY W MECHANICE? 17

0.1. O dwóch sposobach opisywania zjawisk mechanicznych 17

0.2. Zasada prac przygotowanych jako narzędzie statyki analitycznej 18

0.3. Zasada Fermata jako prototyp całkowej zasady wariacyjnej 21

0.4. Podstawowa idea rachunku wariacyjnego. Równanie Eulera-Lagrange’a 24

0.5. Zastosowanie zasady Hamiltona do modelowania drgań poprzecznych struny 26

0.6. Czym są metody bezpośrednie rachunku wariacyjnego? 28

1. PODSTAWYRACHUNKU WARIACYJNEGO 31

1.1. Terminologia 31

1.1.1. Rachunek wariacyjny 31

1.1.2. Funkcjonały 31

1.1.3. Funkcjonał najprostszy 32

1.1.4. Wariacja funkcji. Trzy rodzaje oznaczeń 33

1.1.5. Wariacja asynchroniczna 35

1.1.6. Bliskość krzywych 36

1.1.7. Rodzaje ekstremów 37

1.1.8. Ciągłość i liniowość funkcjonału 39

1.1.9. Przyrost i wariacja funkcjonału 40

1.2. Klasyczne i współczesne zagadnienia wariacyjne 41

1.2.1. Zagadnienia bezwarunkowe dla funkcjonałów najprostszych 41

1.2.2. Zagadnienia bezwarunkowe dla funkcjonałów wzbogaconych 44

1.2.3. Zagadnienia warunkowe 47

1.2.4. Zagadnienia z końcami nieustalonymi 51

1.2.5. Współczesne sformułowanie zagadnienia brachistochrony 53

1.3. Postępowanie wariacyjne 54

1.3.1. Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału 54

1.3.2. Procedura szukania warunku koniecznego ekstremum funkcjonału najprostszego 56

1.3.3. Lemat podstawowy rachunku wariacyjnego 57

1.3.4. Równanie Eulera-Lagrange’a i jego przypadki szczególne 58

1.3.5. Pochodna wariacyjna 62

2. ZAGADNIENIA WARIACYJNE W OGÓLNIEJSZEJ POSTACI 64

2.1. Funkcjonały wzbogacone i równania ich ekstremal 64

2.1.1. Funkcjonał zależny od pochodnych wyższego rzędu 64

2.1.2. Funkcjonał zależny od wielu funkcji 66

2.1.3. Funkcjonał zależny od jednej funkcji dwóch zmiennych niezależnych 67

2.1.4. Funkcjonał zależny od funkcji zadanej w postaci parametrycznej 68

2.2. Zagadnienia wariacyjne na ekstrema warunkowe71

2.2.1. Metoda nieoznaczonych mnożników Lagrange’a 71

2.2.2. Zagadnienie warunkowe z więzami algebraicznymi 74

2.2.3. Zagadnienie warunkowe z więzami różniczkowymi 78

2.2.4. Zagadnienie warunkowe z więzami całkowymi (izoperymetryczne) 80

2.3. Zagadnienia wariacyjne z końcami nieustalonymi 83

2.3.1. Wzór podstawowy na wariację funkcjonału 83

2.3.2. Zagadnienie z końcami swobodnymi 86

2.3.3. Zagadnienie z końcami ruchomymi 88

2.3.4. Naturalne warunki brzegowe 90

2.4. Ekstremale niegładkie. Warunki Weierstrassa-Erdmanna 96

2.5. Trzy typy zagadnień wariacyjnych 101

2.5.1. Sformułowanie zagadnień 101

2.5.2. Związki między poszczególnymi typami zagadnień 103

3. ZAGADNIENIA WARIACYJNE W ZMIENNYCH KANONICZNYCH 105

3.1. Zmienne kanoniczne 105

3.2. Postać kanoniczna równań Eulera-Lagrange’a 107

3.3. Całki pierwsze równań Eulera-Lagrange’a 109

3.4. Równanie Hamiltona-Jacobiego 110

3.5. Całka zupełna równania różniczkowego cząstkowego rzędu pierwszego 112

3.6. Twierdzenie Jacobiego 114

4. PODSTAWOWE POJĘCIA MECHANIKI ANALITYCZNEJ 120

4.1. Mechanika analityczna a niutonowska 120

4.2. Więzy i ich klasyfi kacja 122

4.3. Współrzędne uogólnione i stopnie swobody 131

4.4. Przemieszczenia przygotowane 141

4.5. Przestrzenie w mechanice analitycznej 146

5. ENERGIA KINETYCZNA I POTENCJALNA 150

5.1. Energia kinetyczna układu mechanicznego 150

5.1.1. Punkt materialny 150

5.1.2. Ciało sztywne 152

5.1.3. Ciało odkształcalne 159

5.1.4. Płyn 163

5.2. Energia potencjalna elementów dyskretnych 164

5.3. Energia potencjalna ciał sprężystych 173

5.3.1. Najważniejsze fakty z teorii sprężystości w zapisie inżynierskim 173

5.3.2. Energia potencjalna elementu ciała w warunkach odkształcenia 176

5.3.3. Energia skręcania pręta o przekroju kołowym 178

5.3.4. Energia czystego zginania belki pryzmatycznej 179

5.3.5. Energia belki pryzmatycznej poddanej ściskaniu–rozciąganiu 182

5.3.6. Całkowita energia potencjalna 182

5.4. Inne formy energii 184

5.4.1. Uwagi ogólne na temat energii 184

5.4.2. Kilka faktów z dziedziny mechaniki płynów 185

5.4.3. Energia wewnętrzna płynu 186

5.4.4. Energia płynu jako rezultat działania sił zewnętrznych 187

6. ZASADY WARIACYJNE 188

6.1. O zaletach sformułowania wariacyjnego 188

6.2. Rodzaje zasad wariacyjnych 192

6.3. Zasada prac przygotowanych 194

6.3.1. Zasada prac przygotowanych a równania równowagi statyki geometrycznej 194

6.3.2. Sformułowania ZPP dla ciał sztywnych 194

6.3.3. Sformułowanie ZPP dla ciał sprężystych 198

6.3.4. Uogólnienie ZPP na obiekty ruchome 202

6.4. Zasada Hamiltona-Ostrogradskiego 202

6.4.1. Wzmianka historyczna o całkowych zasadach wariacyjnych 202

6.4.2. Sformułowanie zasady Hamiltona dla układów potencjalnych 203

6.4.3. Sformułowanie zasady Hamiltona dla układów niepotencjalnych 206

6.4.4. Równania Lagrange’a II rodzaju jako konsekwencja zasady Hamiltona 208

6.4.5. Zasada Hamiltona a zasada najmniejszego działania 210

6.5. Przykłady zastosowań zasad wariacyjnych do modelowania ośrodków ciągłych 212

6.5.1. Modelowanie ciał sprężystych 212

6.5.2. Wyprowadzenie równania Eulera ruchu płynu 215

7. ELEMENTY MECHANIKI ANALITYCZNEJ W ZMIENNYCH KANONICZNYCH 218

7.1. Zmienne Lagrange’a a zmienne kanoniczne 218

7.2. Równania kanoniczne Hamiltona 220

7.3 Równania Hamiltona dla układów niepotencjalnych 226

7.4 Metoda Hamiltona-Jacobiego 228

8. ELEMENTY TEORII STEROWANIA OPTYMALNEGO 238

8.1. Wprowadzenie 238

8.1.1. Zagadnienie sterowania 238

8.1.2. Trzy przykłady wprowadzające 239

8.1.3. Mechanika a sterowanie 242

8.2. Model standardowy matematycznej teorii sterowania 243

8.2.1. Równanie stanu 243

8.2.2. Wskaźnik jakości (funkcja celu) 246

8.2.3. Ograniczenia sterowania 250

8.2.4. Równanie wyjścia 252

8.3. Zasada maksimum Pontriagina (ZMP) 253

8.3.1. Główne pojęcia metody Pontriagina 253

8.3.2. Sformułowanie zagadnienia sterowania optymalnego standardowego 254

8.3.3. Sformułowanie ZMP dla zagadnienia standardowego 256

8.3.4. Uwagi dotyczące stosowania ZMP 257

8.3.5. Sprowadzenie układu niestacjonarnego do stacjonarnego 260

8.3.6. Warunki transwersalności 261

8.3.7. Przewodnik po zagadnieniach sterowania optymalnego 270

8.3.8. Zagadnienie sterowania ze wskaźnikiem Bolzy 271

8.3.9. Ujęcie oryginalne Pontriagina 273

8.4. Zagadnienie minimalno-czasowe 276

8.4.1. Sformułowanie zagadnienia 276

8.4.2. Sterowanie przekaźnikowe, czyli „bang-bang” 276

8.4.3. Sterowanie minimalno-czasowe układami liniowymi 277

8.4.4. Zagadnienie stabilizacji minimalno-czasowej 278

8.5. Zagadnienie minimalizacji zużycia paliwa 290

8.5.1. Sformułowanie zagadnienia 290

8.5.2. Sterowanie trójpoziomowe – zasada włączeń („on-off”) 292

8.5.3. Stabilizacja optymalna układów liniowych stacjonarnych 293

8.5.4. Sterowanie prostym układem mechanicznym 295

8.5.5. Inne ujęcia zagadnienia minimalizacji zużycia paliwa 306

8.6. Zagadnienie liniowo-kwadratowe 309

8.6.1. Sformułowanie zagadnienia dla wskaźnika jakości Bolzy 309

8.6.2. Różniczkowe równanie Riccatiego 311

8.6.3. Algebraiczne równanie Riccatiego (ARR) 314

8.6.4. Automatyczne projektowanie regulatorów 317

8.7. Programowanie dynamiczne Bellmana (PDB) 318

8.7.1. Zasada optymalności Bellmana 318

8.7.2. Równanie Hamiltona-Jacobiego-Bellmana 320

8.8. Związki między metodami wariacyjnymi 324

8.8.1. Wprowadzenie 324

8.8.2. Programowanie dynamiczne Bellmana a zasada maksimum Pontriagina 325

8.8.3. Zasada Pontriagina a rachunek wariacyjny 326

9. METODY PRZYBLIŻONE 330

9.1. Kilka uwag ogólnych o metodach przybliżonych 330

9.2. Metoda Ritza i metoda Galerkina 334

9.3. Metoda Kantorowicza 337

9.4. Wiadomości ogólne o MES 340

9.4.1. Relacja między MES a RW 340

9.4.2. Skrócony opis działań w ramach MES 341

9.4.3. MES a metoda Ritza 348

9.5. Metoda Trefftza 349

9.5.1. Wzmianka o metodzie elementów brzegowych 349

9.5.2. Istota metody Trefftza 351

Dodatki

A. Teoria skręcania w ujęciu Prandtla 355

B. Równanie Poissona jako rozwiązanie zagadnienia wariacyjnego 358

C. Praca przygotowana momentu 360

D. Równoważność metod Ritza i Galerkina 362

E. Obliczanie energii i pracy przygotowanej na użytek MES 364

F. Wyprowadzenie pewnego związku całkowego 368

G. Krótkie notki biograficzne 369

Bibliografia 371

Skorowidz 374