Helion


Szczegóły ebooka

Wybrane zagadnienia dynamiki układów niezachowawczych

Wybrane zagadnienia dynamiki układów niezachowawczych


W książce omówiono układy dynamiczne, jakimi w szczególności są konstrukcje mechaniczne, szeroko stosowane w praktyce inżynierskiej. Fundamentalnie ważną cechą takich układów jest ich stabilność, często przez inżynierów nazywana statecznością, ujęta jako odporność na zaburzenia stanów równowagi.
 
Za pierwowzór układów dynamicznych można uznać modele punktów materialnych w polu sił potencjalnych, na przykład opisujące układy ciał niebieskich. Są to zagadnienia o skończonej liczbie stopni swobody. W tej książce natomiast rozpatrywane są układy ciągłe, reprezentujące ciała odkształcalne. Stąd wynika, że należy rozpatrywać funkcje zmiennej przestrzennej, a mianowicie przemieszczenie i prędkość, które razem definiują stan układu i podlegają ewolucji czasowej.
 
W celu badania ruchu ośrodka ciągłego formułuje się równania ruchu wraz z warunkami początkowymi i brzegowymi, które razem determinują przyszłą trajektorię każdej cząsteczki rozpatrywanego medium. W tym opracowaniu skupimy się na szczególnej klasie zagadnień, a mianowicie na zginaniu belek sprężystych, opisanych teorią Jacoba Bernoulliego, Leonarda Eulera i Daniela Jacobiego.
 
Równanie Bernoulliego-Eulera, oparte na hipotezie nieodkształconych włókien prostopadłych do linii środkowej belki, dotyczy również prętów i kolumn, o ile są one smukłe, a przekrój jest stały lub umiarkowanie zmienny. W przypadku osiowo ściskanej kolumny już sam L. Euler opisał zjawisko utraty stateczności rozwiązania zerowego, podając analityczne wzory zarówno na siłę krytyczną, jak i na postać przemieszczeń powodujących ugięcie i ewentualnie zniszczenie kolumny.
 
Okazuje się, że istotny wpływ na wartość siły krytycznej, jak i na postać utraty stabilności, mają warunki brzegowe oraz obciążenia poprzeczne, zależne od przemieszczenia. Takimi obciążeniami są głównie siły spowodowane odkształceniem podłoża, na przykład Winklerowskiego, lub podpór, w tym sprężystych oraz tłumiących, lepkosprężystych. Warunki brzegowe to zwykle utwierdzenie kolumny na dolnym końcu kolumny, podczas gdy górny koniec może być swobodny.
 
Ciekawsze według autorów są takie warunki jak warunek Becka czy Reuta, które należą do obciążeń siłą śledzącą. W takich przypadkach, w odróżnieniu od obciążeń siłą nieśledzącą, kierunek, moduł lub cząsteczka, do której przykładana jest siła, są zmienne. Na przykład przy kolumnie Becka na górny koniec kolumny działa oprócz siły osiowej, ściskającej o zadanym module, siła poprzeczna, taka, że siła wypadkowa ma zawsze kierunek styczny do linii środkowej kolumny na jej końcu.
 
W przypadku układów z siłami śledzącymi analiza statyczna, bez uwzględnienia sił bezwładności, nie umożliwia uzyskania poprawnych wyników. Podejście takie w przypadku konserwatywnego obciążenia, to jest warunków brzegowych Eulera, jest dopuszczalne. Istnieje wtedy, przy krytycznej wartości siły, ścieżka stanów równowagi odchodząca od rozwiązania zerowego do dowolnie dużych wychyleń.
 
Taki scenariusz utraty stabilności nosi nazwę dywergentnej utraty stateczności. Początkowo mylnie sądzono, że skoro takiej opcji nie ma przy warunkach Becka, to kolumna Becka nie ma skończonej siły krytycznej. Okazuje się jednak, że scenariusz jest inny, a siła krytyczna, chociaż kilkakrotnie wyższa od siły Eulera, ma wartość skończoną. Kolumna Becka przy podkrytycznym poziomie obciążenia, lekko wytrącona ze stanu równowagi zerowego, będzie drgać, przy czym amplitudy każdej formy własnej pozostaną na zawsze takie same jak bezpośrednio po pobudzeniu.
 
Po przekroczeniu poziomu krytycznego co najmniej jedna z form własnych będzie miała rosnącą w czasie amplitudę. Taki sposób utraty stabilności, prowadzący do zniszczenia konstrukcji, nazywamy flutterem.
 
W książce wykazano, że nie tylko wyżej opisane objawy związane z utratą stabilności różnią układy z siłami śledzącymi od takich z obciążeniami konserwatywnymi. Ważny jest również fakt, że w opisie matematycznym występują operatory niesamosprzężone, a po dyskretyzacji powstają macierze niesymetryczne, gdy analizujemy siły śledzące.
 
Kontynuując rozważania omówiono podstawowe cechy układów dynamicznych, przytaczając w celu ilustracji wiele popularnych, a także mniej znanych przykładów. Omówiono wstępnie równania i zjawiska, pokazując wykresy – bez wchodzenia na tym etapie w szczegóły metod analizy i w sposoby uzyskiwania wyników. Następnie zajęto się modelowaniem belek i kolumn, wyprowadzając równanie Bernoulliego-Eulera oraz omawiając pewne uogólnienia. Szczególną uwagę skupiono na takich elementach, jak podłoża i podpory, zarówno sprężyste jak i tłumiące, oraz na warunkach brzegowych, w tym Eulera, Reuta i Leipholtza.
 
Bardzo ważny rozdział poświęcono omówieniu aparatu analitycznego i numerycznego. Metody rozwiązania równań algebraicznych, różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych wprowadzono, by je przedyskutować na wstępnych przykładach, a narzędzia dopasowano do potrzeb tej książki.
 
W kolejnym rozdziale rozpatrzono krzywe charakterystyczne układów opisujących modele poprzednio wprowadzone. Zastosowano przedstawione metody analityczne i numeryczne, uzyskując w ten sposób ważne wyniki dotyczące obiektów badań. Zwrócono przy tym uwagę na wrażliwość wyników na zmiany danych. Celem ostatecznym jest poprawa właściwości badanych konstrukcji w sensie optymalizacji ich parametrów, takich jak cechy materiałowe czy eometryczne.
 
Maksymalizacja siły krytycznej poprzez dobór kształtu przy niezmiennych kosztach materiału lub minimalizacja kosztów kolumny przy zachowaniu wymaganego poziomu siły krytycznej, to dwa zadania programowania nieliniowego w tym kontekście. Początkowe badania oparto na analizie modalnej, następnie omówiono zastosowania i weryfikację doświadczalną. Podano także wyniki uzyskane z wykorzystaniem symulacji dynamicznej. Numeryczne rozwiązanie zagadnień początkowych dotyczących zdyskretyzowanych równań ruchu możliwe jest nawet w wielu przypadkach, w których dotychczas prezentowane metody zawodzą. W szczególności wpływy nieliniowości oraz czynników losowych mogą być ujęte ilościowo poprzez zastosowanie technik symulacji dynamicznej.
 
Autorzy, prowadząc wykłady na studiach doktoranckich Politechnik Warszawskiej, Krakowskiej i Koszalińskiej, mają nadzieję, że niniejsza książka będzie pomocna młodym badaczom kierunków mechanicznych. Liczymy na stabilne warunki oraz dalszy dynamiczny rozwój wyłożonej teorii i jej implementacji w sztuce inżynierskiej.

 

Przedmowa 7

Symbole i oznaczenia 10

1. Wprowadzenie 14

2. Układy dynamiczne 18

2.1. Równania ruchu 18

2.2. Równania równowagi 21

2.3. Sformułowanie wariacyjne 21

2.4. Definicje stabilności 23

2.5. Funkcja Lapunowa 24

2.6. Rodziny stanów równowagi 27

2.7. Cykle graniczne 28

3. Modele belek i kolumn 35

3.1. Sformułowanie wariacyjne 39

3.2. Tłumienie 40

3.3. Siła wzdłużna 40

3.4. Warunki brzegowe 42

3.5. Układy złożone 44

4. Metody rozwiązywania 47

4.1. Metody analityczne 47

4.2. Techniki numeryczne 54

4.3. Układy równań nieliniowych54

4.3.1. Metoda Newtona i metody quasi-Newtona 54

4.3.2. Układy równań liniowych 56

4.3.3. Zagadnienia własne 58

4.3.4. Uogólnione i kwadratowe zagadnienia własne 62

4.3.5. Układy równań różniczkowych zwyczajnych 64

4.4. Dyskretyzacja przestrzenna 69

4.4.1. Metoda różnic skończonych 70

4.4.2. Dyskretyzacja przy brzegu 74

4.4.3. Weryfikacja metody na wybranych przykładach 75

4.4.4. Metoda elementów skończonych 77

5. Kryteria stabilności położenia równowagi 79

5.1. Kryterium Hurwitza 83

 

5.2. Kryterium Michajłowa 84

5.3. Drgania swobodne belki Eulera 87

5.4. Przykład analizy stabilności kolumny 90

6. Krzywe charakterystyczne 97

6.1. Wyznaczenie punktów krytycznych 100

6.2. Śledzenie krzywych charakterystycznych 102

6.3. Wybrane wyniki i ich dyskusja 103

7. Optymalizacja 106

7.1. Metody optymalizacji 106

7.1.1. Metoda gradientowa 106

7.1.2. Metody Newtona i quasi-Newtona 109

7.1.3. Metoda Monte Carlo 111

7.1.4. Algorytmy ewolucyjne 112

7.2. Optymalizacja kształtu 113

7.2.1. Zredukowany przekrój górnego segmentu 113

7.2.2. Kolumna złożona z dwóch segmentów 117

7.2.3. Kolumna złożona z kilku segmentów 118

7.2.4. Kolumna o gładkim profilu 121

7.3. Optymalizacja podpór 123

7.3.1. Pojedyncza podpora sprężysta 123

7.3.2. Podpory tłumiące 126

7.4. Optymalizacja przegubów 127

7.4.1. Kolumna z przegubem 127

7.4.2. Kolumna z (wieloma) przegubami 129

7.4.3. Kolumna złożona z dwóch segmentów łączonych przegubem 130

7.4.4. Sterowanie siłą poprzeczną na stykach segmentów 131

8. Symulacja dynamiczna 134

8.1. Rozwiązania okresowe w przypadku wymuszenia harmonicznego 134

8.2. Zagadnienie początkowo-brzegowe 135

8.3. Efekty nieliniowości 136

9. Badania doświadczalne 138

9.1. Jak uzyskać siły cyrkulacyjne? 139

10. Uwagi końcowe 141

Bibliografia 144

Indeks 147

Spis rysunków 148