Wybrane metody numeryczne z przykładami zastosowań w zadaniach inżynierskich

Stanisław Rosłoniec

W opracowaniu przedstawiono wybrane metody numeryczne wykorzystywane do rozwiązywania układów równań liniowych i nieliniowych, interpolowania i aproksymowania funkcji jednej zmiennej, całkowania funkcji jednej i wielu zmiennych, różniczkowania funkcji jednej i wielu zmiennych oraz całkowania układów równań różniczkowych zwyczajnych. Wszystkie przedstawione metody zilustrowano przykładami wynikającymi z konkretnych zadań inżynierskich. Skrypt ten może być wykorzystywany w szkołach wyższych o profilu technicznym.   Prezentowane, już trzecie, wydanie podręcznika zostało znacznie zmienione. Całkowicie nowym rozdziałem jest rozdział 2, traktujący o numerycznych metodach rozwiązywania zagadnień własnych macierzy algebraicznych. W pierwszym z jego podrozdziałów przedstawiono standardowe metody wyznaczania wartości i wektorów własnych macierzy trójdiagonalnych. Następnie przedstawiono kolejno wersje metody potęgowej i przykłady metod transformacyjnych jakimi są metody Jacobiego, Givensa i przekształcenia QR. W końcowej części rozdziału podano przykład ilustrujący procedurę ortogonalizacji Grama-Schmidta.   Do najistotniejszych uzupełnień wprowadzonych do rozdziału 3, poświęconego metodom rozwiązywania pojedynczych równań nieliniowych, należy zaliczyć: rozszerzenie opisu metody Laguerre’a, prezentację metod Pegaza i Illinois będących ulepszonymi wersjami metody cięciw oraz omówienie metody macierzy towarzyszącej i metody Mullera. Rozdział 4, poświecony numerycznym metodom rozwiązywania układów równań nieliniowych, rozszerzono o opis metody Broydena, która jest wielowymiarowym odpowiednikiem metody siecznej opisanej w podrozdziale 3.2.3. Rozdział 5 traktujący o metodach interpolacji i aproksymacji funkcji jednej zmiennej rozszerzono o bardziej szczegółowy opis wymagań nakładanych na sześcienną funkcję sklejaną i wprowadzenie uzupełniającej formy zapisu tej funkcji. Ponadto opisano sposób interpolacji za pomocą liniowej kombinacji B-funkcji sklejanych trzeciego stopnia. Drugim, nowo opracowanym rozdziałem jest rozdział 6 poświęcony metodom interpolacji i aproksymacji funkcji dwóch zmiennych. Rozdział ten obejmuje: metodę kolejnych, jednowymiarowych interpolacji, metodę bezpośredniej, dwuwymiarowej interpolacji za pomocą wielomianu drugiego stopnia i dwuwymiarowej B-funkcji sklejanej. Istotę dwuwymiarowej, średniokwadratowej aproksymacji omówiono wykorzystując jako funkcję aproksymującą uogólniony wielomian dwóch zmiennych określony przez 9 niezależnych współczynników. Rozdział 7 został rozszerzony przez wprowadzenie przykładu obliczeniowego ilustrującego 7-węzłową kwadraturę Gaussa-Legendre’a i algorytmu 15-węzłowej kwadratury Gaussa-Kronroda G7-K15. Podwyższoną dokładność obliczeń wykonanych według tej kwadratury potwierdzają wyniki prezentowane przykładzie 7.8.   Kolejnym, rozszerzonym rozdziałem jest rozdział 9 poświęcony metodom numerycznego całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Rozważane w tym rozdziale zadanie rozwiązywania zagadnienia granicznego, patrz podrozdział 9.6, zostało wzbogacone w wyniku omówienia podstaw metod kollokacji i Galerkina wraz z ilustrującymi je przykładami. Jako funkcje aproksymujące wyznaczane numerycznie rozwiązanie zastosowano standardowe, sześcienne funkcje sklejane i B-funkcje sklejane trzeciego stopnia.   Kończąc, pragnę wyrazić przekonanie, że przedkładana książka okaże się być interesująca i użyteczna dla wielu czytelników.