E-book details

Teoria ciał uporządkowanych

Teoria ciał uporządkowanych

Mieczysław Kula, Andrzej Sładek

Ebook

Podstawy teorii ciał uporządkowanych stworzone zostały przez Emila Artina i Ottona Schreiera w 1927 roku, w odpowiedzi na problem znany jako 17. problem Hilberta. Z biegiem czasu teoria ta stała się katalizatorem rozwoju kilku działów matematyki. Powstaje rzeczywista geometria algebraiczna, teoria form kwadratowych uzyskuje nowe narzędzia badań, a ciała uporządkowane pojawiają się w teorii modeli.

Niniejszy podręcznik zapoznaje Czytelnika z podstawami oraz głównymi, w tym również najnowszymi, zastosowaniami teorii ciał uporządkowanych. Materiał w nim zawarty pozwala głębiej zrozumieć te zagadnienia matematyczne, które odwołują się do własności uporządkowanego ciała liczb rzeczywistych. W polskiej literaturze matematycznej dotychczas nie było opracowania o takim charakterze. Dziesięć głównych rozdziałów uzupełnionych zostało dwoma dodatkami, aby prezentowany materiał był kompletny i spójny. Każdy rozdział kończy się zadaniami, które pozwolą Czytelnikowi sprawdzić i pogłębić zrozumienie przeczytanego materiału.

Podręcznik przeznaczony jest dla studentów kierunków ścisłych, doktorantów oraz pracowników naukowych pragnących zapoznać się z podstawami algebry rzeczywistej.

Spis treści

 

Wstęp / 9

1. Ciała formalnie rzeczywiste / 15

1.1. Porządki ciał / 15

1.2. Porządki ciała szeregów formalnych / 21

1.3. Praporządki, twierdzenia Artina–Schreiera / 23

1.4. Sygnatury, oszacowanie liczby porządków / 27

1.5. Wachlarze / 30

1.6. Przedłużenia porządków / 32

1.7. Półporządki ciał / 37

1.8. Zadania / 44

 

2. Formy kwadratowe / 51

2.1. Funkcjonały dwuliniowe i formy kwadratowe / 51

2.2. Formy kwadratowe nad dowolnymi ciałami / 56

2.3. Formy Pfistera / 63

2.4. Formy śladu / 66

2.5. Formy kwadratowe nad ciałami formalnie rzeczywistymi / 75

2.6. Zadania / 81

 

3. Ciała rzeczywiście domknięte / 85

3.1. Charakteryzacja ciał rzeczywiście domkniętych / 85

3.2. Formy śladu nad ciałami formalnie rzeczywistymi / 91

3.3. Jednoznaczność rzeczywistego domknięcia / 93

3.4. Elementarne twierdzenia analizy matematycznej / 98

3.5. Zadania / 103

 

4. Ciała uporządkowane / 107

4.1. Gęstość i archimedesowość / 107

4.2. Ciało funkcji wymiernych / 115

4.3. Ciągłe domkniecie ciała uporządkowanego / 120

4.4. Podciała ciała liczb rzeczywistych / 132

4.5. Twierdzenie aproksymacyjne dla norm / 137

4.6. Zadania / 139

 

5. Przestrzeń porządków ciała formalnie rzeczywistego / 143

5.1. Topologia przestrzeni porządków / 144

5.2. Przestrzeń sygnatur / 152

5.3. Praporządki spełniające SAP / 156

5.4. Przykłady ciał spełniających SAP / 161

5.5. Zadania / 165

 

6. Pierścienie waluacyjne, waluacje i punkty / 167

6.1. Podpierścienie wypukłe / 167

6.2. Podstawowe pojęcia teorii waluacji / 173

6.3. Przykłady waluacji, pierścieni waluacyjnych oraz punktów / 178

6.4. Ranga waluacji / 184

6.5. Topologia waluacyjna / 187

6.6. Twierdzenia aproksymacyjne / 189

6.7. Rozszerzenia pierścieni waluacyjnych / 195

6.8. Zadania / 200

 

7. Pierścienie waluacyjne w ciałach formalnie rzeczywistych / 203

7.1. Pierścienie waluacyjne formalnie rzeczywiste / 203

7.2. Pierścienie henselowskie / 214

7.3. Topologia porządkowa / 223

7.4. Punkty rzeczywiste / 225

7.5. Lokalizacja praporządków / 235

7.6. Półporządki i pierścienie waluacyjne / 238

7.7. Zadania / 245

 

8. Wokół 17. problemu Hilberta / 249

8.1. Punkty ciał funkcyjnych / 250

8.2. 17. problem Hilberta / 254

8.3. Twierdzenie o dodatniości / 259

8.4. Formy ternarne stopnia 4. oraz twierdzenie Hilberta / 269

8.5. Zadania / 275

 

9. Specjalne klasy ciał / 279

9.1. Ciała euklidesowe / 279

9.2. Ciała pitagorejskie / 284

9.3. Ciała superrzeczywiste oraz superpitagorejskie / 293

9.4. Zadania / 296

 

10. Geometryczne własności ciał uporządkowanych / 299

10.1. Twierdzenie spektralne / 299

10.2. Uogólnione przestrzenie euklidesowe / 306

10.3. Praporządki spełniające warunek Pascha / 323

10.4. Ciała spełniające SAP / 326

10.5. Twierdzenie Rolle’a dla wielomianów i funkcji wymiernych / 333

10.6. Zadania / 341

 

Dodatek 343

D.1. Grupy abelowe uporządkowane / 343

D.2. Ciało liczb rzeczywistych / 353

D.3. Zadania / 360

Bibliografia / 365

Spis oznaczeń / 365

Skorowidz / 367

  • Title: Teoria ciał uporządkowanych
  • Author: Mieczysław Kula, Andrzej Sładek
  • ISBN: 978-8-3801-2201-7, 9788380122017
  • Date of issue: 2017-09-04
  • Format: Ebook
  • Item ID: e_0mkr
  • Publisher: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego