E-book details

Wybrane metody numeryczne z przykładami zastosowań w zadaniach inżynierskich

Wybrane metody numeryczne z przykładami zastosowań w zadaniach inżynierskich

Stanisław Rosłoniec

Ebook
W opracowaniu przedstawiono wybrane metody numeryczne wykorzystywane do rozwiązywania układów równań liniowych i nieliniowych, interpolowania i aproksymowania funkcji jednej zmiennej, całkowania funkcji jednej i wielu zmiennych, różniczkowania funkcji jednej i wielu zmiennych oraz całkowania układów równań różniczkowych zwyczajnych. Wszystkie przedstawione metody zilustrowano przykładami wynikającymi z konkretnych zadań inżynierskich. Skrypt ten może być wykorzystywany w szkołach wyższych o profilu technicznym.
 
Prezentowane, już trzecie, wydanie podręcznika zostało znacznie zmienione. Całkowicie nowym rozdziałem jest rozdział 2, traktujący o numerycznych metodach rozwiązywania zagadnień własnych macierzy algebraicznych. W pierwszym z jego podrozdziałów przedstawiono standardowe metody wyznaczania wartości i wektorów własnych macierzy trójdiagonalnych. Następnie przedstawiono kolejno wersje metody potęgowej i przykłady metod transformacyjnych jakimi są metody Jacobiego, Givensa i przekształcenia QR. W końcowej części rozdziału podano przykład ilustrujący procedurę ortogonalizacji Grama-Schmidta.
 
Do najistotniejszych uzupełnień wprowadzonych do rozdziału 3, poświęconego metodom rozwiązywania pojedynczych równań nieliniowych, należy zaliczyć: rozszerzenie opisu metody Laguerre’a, prezentację metod Pegaza i Illinois będących ulepszonymi wersjami metody cięciw oraz omówienie metody macierzy towarzyszącej i metody Mullera. Rozdział 4, poświecony numerycznym metodom rozwiązywania układów równań nieliniowych, rozszerzono o opis metody Broydena, która jest wielowymiarowym odpowiednikiem metody siecznej opisanej w podrozdziale 3.2.3. Rozdział 5 traktujący o metodach interpolacji i aproksymacji funkcji jednej zmiennej rozszerzono o bardziej szczegółowy opis wymagań nakładanych na sześcienną funkcję sklejaną i wprowadzenie uzupełniającej formy zapisu tej funkcji. Ponadto opisano sposób interpolacji za pomocą liniowej kombinacji B-funkcji sklejanych trzeciego stopnia. Drugim, nowo opracowanym rozdziałem jest rozdział 6 poświęcony metodom interpolacji i aproksymacji funkcji dwóch zmiennych. Rozdział ten obejmuje: metodę kolejnych, jednowymiarowych interpolacji, metodę bezpośredniej, dwuwymiarowej interpolacji za pomocą wielomianu drugiego stopnia i dwuwymiarowej B-funkcji sklejanej. Istotę dwuwymiarowej, średniokwadratowej aproksymacji omówiono wykorzystując jako funkcję aproksymującą uogólniony wielomian dwóch zmiennych określony przez 9 niezależnych współczynników. Rozdział 7 został rozszerzony przez wprowadzenie przykładu obliczeniowego ilustrującego 7-węzłową kwadraturę Gaussa-Legendre’a i algorytmu 15-węzłowej kwadratury Gaussa-Kronroda G7-K15. Podwyższoną dokładność obliczeń wykonanych według tej kwadratury potwierdzają wyniki prezentowane przykładzie 7.8.
 
Kolejnym, rozszerzonym rozdziałem jest rozdział 9 poświęcony metodom numerycznego całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Rozważane w tym rozdziale zadanie rozwiązywania zagadnienia granicznego, patrz podrozdział 9.6, zostało wzbogacone w wyniku omówienia podstaw metod kollokacji i Galerkina wraz z ilustrującymi je przykładami. Jako funkcje aproksymujące wyznaczane numerycznie rozwiązanie zastosowano standardowe, sześcienne funkcje sklejane i B-funkcje sklejane trzeciego stopnia.
 
Kończąc, pragnę wyrazić przekonanie, że przedkładana książka okaże się być interesująca i użyteczna dla wielu czytelników.

OD AUTORA 9

PRZEDMOWA 11

WSTĘP 13

Rozdział 1

METODY NUMERYCZNEGO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH 17

1.1. Metody bezpośrednie 22

1.1.1. Metoda eliminacji Gaussa 22

1.1.2. Metoda eliminacji Gaussa-Jordana 27

1.1.3. Metoda rozkładu LU 29

1.1.4. Metoda macierzy odwrotnej 32

1.2. Metody iteracyjne 34

1.2.1. Metoda sukcesywnych poprawek 35

1.2.2. Metody iteracyjne Jacobiego i Gaussa-Seidela 36

1.3. Przykłady zastosowań 41

Rozdział 2

METODY NUMERYCZNEGO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ WŁASNYCH MA­CIERZY ALGEBRAICZNYCH 47

2.1. Metoda wyznaczania wartości własnych i wektorów własnych macierzy trójdiagonalnej 51

2.2. Wyznaczanie wartości i wektorów własnych macierzy metodami potęgowymi 54

2.2.1. Prosta metoda potęgowa 54

2.2.2. Odwrotna metoda potęgowa 57

2.2.3. Metoda potęgowa z przesunięciem wartości własnych 63

2.3. Transformacyjne metody wyznaczania wartości własnych i wektorów własnych ma­cierzy algebraicznych 65

2.3.1. Metoda Jacobiego 68

2.3.2. Metoda Givensa 70

2.3.3. Metoda przekształcenia QR 73

2.4. Przykład ilustrujący procedurę ortogonalizacji Grama-Schmidta 76

Rozdział 3

METODY NUMERYCZNEGO ROZWIĄZYWANIA POJEDYNCZYCH RÓWNAŃ NIE­LINIOWYCH 81

3.1. Wyznaczanie pierwiastków równań wielomianowych metodami Lina, Bairstowa, Laguerre’a i macierzy towarzyszącej 82

3.1.1. Metoda Lina 82

3.1.2. Metoda Bairstowa 84

3.1.3. Metoda Laguerre’a 88

3.1.4. Metoda macierzy towarzyszącej 92

3.2. Iteracyjne metody rozwiązywania równań transcendentnych 93

3.2.1. Metoda bisekcji 94

3.2.2. Metoda cięciw i jej ulepszone wersje 95

3.2.3. Metoda stycznych (Newtona-Raphsona) i związana z nią metoda siecznych 100

3.2.4. Metoda Mullera 101

3.3. Metody numerycznego poszukiwania minimum funkcji jednej zmiennej 106

3.4. Przykłady zastosowań 108

Rozdział 4

METODY NUMERYCZNEGO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH  113

4.1. Metoda iteracji prostych 113

4.2. Metoda iteracyjna ze zmiennym parametrem 115

4.3. Metoda Newtona 116

4.4. Metoda Broydena 120

4.5. Metody optymalizacyjne 128

4.6. Przykłady zastosowań 129

Rozdział 5

METODY INTERPOLACJI I APROKSYMACJI FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 139

5.1. Metody interpolacji funkcji jednej zmiennej 142

5.1.1. Interpolacja odcinkami (krzywą łamaną) 142

5.1.2. Interpolacja wielomianem Lagrange’a143

5.1.3. Procedura interpolacyjna Aitkena 147

5.1.4. Interpolacja wielomianem Newtona-Gregory’ego148

5.1.5. Interpolacja sześcienną funkcją sklejaną 154

5.1.6. Interpolacja za pomocą liniowej kombinacji B-funkcji sklejanych trzeciego stopnia 162

5.2. Metody aproksymacji funkcji jednej zmiennej 167

5.2.1. Aproksymacja liniową kombinacją wielomianów Czebyszewa pierwszego rodzaju 167

5.2.2. Aproksymacja funkcji stałej wielomianem według kryterium równomierne­go przybliżenia 171

5.2.3. Aproksymacja funkcji stałej wielomianem według kryterium maksymalnej płaskości 175

5.2.4. Metoda najmniejszych kwadratów 178

5.2.5. Aproksymacja funkcji okresowych ortogonalnymi szeregami 184

5.3. Przykład zastosowania wielomianów Czebyszewa do aproksymacji charakterystyki grupowej liniowego szyku antenowego 191

Rozdział 6

METODY INTERPOLACJI I APROKSYMACJI FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH 199

6.1. Metody interpolacji funkcji dwóch zmiennych 199

6.1.1. Metoda kolejnych, jednowymiarowych interpolacji 200

6.1.2. Metoda bezpośredniej, dwuwymiarowej interpolacji 203

6.1.3. Dwuwymiarowa interpolacja za pomocą B-funkcji sklejanych trzeciego stopnia 206

6.2. Aproksymacja funkcji dwóch zmiennych metodą najmniejszych kwadratów 218

Rozdział 7

METODY NUMERYCZNEGO CAŁKOWANIA FUNKCJI JEDNEJ I DWÓCH ZMIENNYCH 223

7.1. Obliczanie przybliżonej wartości całki oznaczonej przez rozwinięcie funkcji podcał­kowej w szereg funkcji elementarnych 226

7.2. Metody numerycznego całkowania funkcji jednej zmiennej 228

7.2.1. Metody prostokątów i trapezów 228

7.2.2. Metoda Romberga 231

7.2.3. Metoda Simpsona 234

7.2.4. Metoda Newtona-Cotesa 238

7.2.5. Metoda funkcji sklejanej 240

7.2.6. Kwadratury Gaussa i Czebyszewa 242

7.3. Metody numerycznego całkowania funkcji dwóch zmiennych 255

7.3.1. Metoda elementarnych komórek 255

7.3.2. Uogólniony, kubaturowy wzór Simpsona 256

7.4. Przykład zastosowania numerycznego całkowania do wyznaczania pozycji zliczanej przemieszczającego się obiektu 260

Rozdział 8

METODY NUMERYCZNEGO OBLICZANIA POCHODNYCH FUNKCJI JEDNEJ I DWÓCH ZMIENNYCH 263

8.1. Wzory różnicowe do obliczania pochodnych funkcji jednej zmiennej 265

8.2. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej przez różniczkowanie interpolujące­go ją wielomianu 272

8.2.1. Różniczkowanie wielomianu Newtona-Gregory’ego 272

8.2.2. Różniczkowanie sześciennej funkcji sklejanej 275

8.3.Wzory różnicowe do obliczania pochodnych cząstkowych funkcji dwóch zmiennych 277

8.4. Przykład zastosowania metody optymalizacyjnej wykorzystującej pochodne cząst­kowe funkcji dwóch zmiennych 281

Rozdział 9

METODY NUMERYCZNEGO ROZWIĄZYWANIA NIELINIOWYCH RÓWNAŃ RÓŻ­NICZKOWYCH 287

9.1. Zadanie Cauchy’ego i metody jego rozwiązywania 287

9.2. Metody jednokrokowe 288

9.2.1. Metoda Eulera i jej udoskonalona wersja 288

9.2.2. Metoda Heuna 290

9.2.3. Metody Rungego-Kutty 292

9.2.4. Metoda Rungego-Kutty-Fehlberga RKF 45 294

9.3. Wielokrokowe metody prognozy i korekcji  297

9.3.1. Metoda Adamsa-Bashfortha-Moulthona 301

9.3.2. Metoda Milne’a-Simpsona 302

9.3.3. Metoda Hamminga 305

9.4. Przykłady zastosowania metody RK 4 do rozwiązywania układów równań różnicz­kowych opisujących wybrane urządzenia prostownicze 307

9.4.1. Niesymetryczny podwajacz napięcia 307

9.4.2. Dwupołówkowy prostownik z trójelementowym ogniwem filtrującym 312

9.4.3. Czterokrotny, symetryczny powielacz napięcia 318

9.5. Przykład rozwiązania równania różniczkowego typu Riccatiego opisującego odcinek niejednorodnej linii długiej 324

9.6. Metody rozwiązywania zagadnień granicznych równań różniczkowych zwyczajnych 327

9.6.1. Przykład rozwiązania zagadnienia granicznego metodą Galerkina 331

9.6.2. Przykład rozwiązania zagadnienia granicznego metodą kollokacji z wykorzy­staniem sześciennej funkcji sklejanej 333

9.6.3. Przykład rozwiązania zagadnienia granicznego metodą różnic skończonych 342

Rozdział 10

METODY NUMERYCZNEGO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ BRZEGOWYCH 345

10.1. Wewnętrzne i zewnętrzne zagadnienia brzegowe dla równania Laplace’a 348

10.2. Algorytm numerycznego rozwiązywania równania Laplace’a funkcji dwóch zmien­nych metodą różnic skończonych 350

10.2.1. Procedura obliczeniowa Liebmanna 353

10.2.2. Metoda nadrelaksacyjna (SOR) 360

10.3. Wzory różnicowe do numerycznego obliczania składowych wektora natężenia pola elektrycznego 364

10.4. Przykłady obliczeń impedancji charakterystycznej i współczynnika tłumienia wybra­nych prowadnic falowych TEM metodą różnic skończonych 368

10.4.1. Ekranowana, symetryczna linia paskowa 369

10.4.2. Linia współosiowa z kwadratowymi przewodami 372

10.4.3. Symetryczna linia paskowa 374

10.4.4. Ekranowana, podwieszona linia paskowa 376

10.4.5. Ekranowana linia cylindryczno-płaska 380

10.4.6. Symetryczne linie paskowe sprzężone 387

10.4.7. Linie cylindryczno-płaskie sprzężone 392

LITERATURA 397

DODATKI 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 401

SKOROWIDZ 433

  • Title: Wybrane metody numeryczne z przykładami zastosowań w zadaniach inżynierskich
  • Author: Stanisław Rosłoniec
  • ISBN: 978-83-8156-154-9, 9788381561549
  • Date of issue: 2021-01-12
  • Format: Ebook
  • Item ID: e_1wvt
  • Publisher: Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej