Przedmowa 8

1. Wstęp 9

2. Analiza błędów 12

2.1. Reprezentacja liczb na maszynie cyfrowej 12

2.2. Błędy zaokrągleń 14

2.3. Wybrane reprezentacje zmiennopozycyjne na maszynach cyfrowych 15

2.4. Propagacja błędów 17

2.5. Współczynnik wzmocnienia zaburzenia danych wejściowych 21

2.6. Błąd całkowity obliczeń 22

2.7. Analiza propagacji błędów metodą macierzową 26

2.8. Analiza propagacji błędów metodą grafów 30

3. Rachunek macierzowy 34

3.1. Podstawowe definicje rachunku macierzowego 37

3.2. Normy macierzy i wektorów 39

3.3. Ocena uwarunkowania numerycznego operatorów liniowych 40

4. Rozwiązywanie układów równań liniowych 46

4.1. Metoda eliminacji Gaussa 47

4.2. Rozkład LU 57

4.3. Metoda Crouta-Doolittle’a 58

4.4. Wierszowy algorytm Doolittle’a 64

4.5. Odwracanie macierzy metodą Gaussa-Jordana 67

4.6. Złożoność obliczeniowa metod eliminacyjno-dekompozycyjnych 69

Interpolacja 71

5.1. Metoda układu równań 72

5.2. Interpolacja wielomianowa Lagrange’a 73

5.3. Wzór interpolacyjny Newtona 75

5.4. Interpolacja Hermita 84

5.5. Interpolacja wymierna 88

5.6. Interpolacja trygonometryczna 95

5.7. Interpolacja za pomocą funkcji sklejanych 99

5.8. Błąd interpolacji funkcji niewymiernej wielomianem 104

5.9. Metody interpolacji w Matlabie 106

6. Aproksymacja – liniowe wygładzanie 107

6.1. Metoda najmniejszych kwadratów 107

6.2. Aproksymacja jednostajna Taylora 112

6.3. Metody aproksymacji w Matlabie 114

7. Wartości własne i wektory własne 115

7.1. Postać kanoniczna Jordana macierzy 117

7.2. Postać kanoniczna Frobeniusa macierzy 120

7.3. Postać kanoniczna Schura macierzy 122

7.4. Metoda Householdera 123

7.5. Sprowadzanie macierzy do postaci Hessenberga – metoda eliminacji 126

7.6. Wybór metody wyznaczania wartości i wektorów własnych macierzy 130

7.7. Metoda iteracji prostej (metoda potęgowa 130

7.8. Obliczanie wartości własnych hermitowskiej macierzy trójprzekątniowej za pomo­cą ciągów Sturma 135

7.9. Metoda LR (Rutishauser 1958) 136

7.10. Metoda QR (Francisa) 138

8. Iteracyjne algorytmy rozwiązywania układów równań liniowych 145

8.1. Ogólne postawienie problemu metod iteracyjnych 146

8.2. Metoda Jacobiego 147

8.3. Metoda Gaussa-Seidla 150

8.4. Metoda sukcesywnej relaksacji (SOR 153

8.5. Zbieżność metod opartych na iteracji prostej 154

8.6. Poprawianie uwarunkowania układu równań przy wykorzystaniu prekondycjonerów 157

8.7. Metoda gradientów sprzężonych Hestenesa i Stiefela 160

8.8. Algorytm GMRES  (uogólniona metoda najmniejszych residuów) 187

8.9. Metody rozwiązywania układów równań w Matlabie 178

9. Układy równań nadokreślone 179

9.1. Kryterium najmniejszych kwadratów 179

9.2. Rozkład względem wartości osobliwych 181

9.3. Sprowadzanie do postaci trójkątnej 184

9.4. Metody rozwiązywania nadokreślonych układów równań w Matlabie 188

10. Wyznaczanie numeryczne rozwiązania równańi układów równań nieliniowych 189

10.1. Metoda Newtona-Raphsona 189

10.2. Rozwiązywanie układów równań nieliniowych metodą Newtona-Raphsona 193

10.3. Reguła falsi 197

10.4. Metoda siecznych 200

10.5. Metoda bisekcji 201

10.6. Ciągi Sturma 201

10.7. Metoda Bairstowa 205

10.8. Metoda iteracji prostej 208

10.9. Inne metody rozwiązywania układów równań nieliniowych 209

10.10. Metody rozwiązywania równań nieliniowych w Matlabie 210

11. Całkowanie numeryczne 211

11.1. Kwadratury Newtona-Cotesa 211

11.2. Złożone wzory Newtona-Cotesa 214

11.3. Metoda ekstrapolacji Richardsona 217

11.4. Kwadratury Gaussa 219

11.5. Metoda monte Carlo 221

11.6. Kwadratury 2D i 3D 221

11.7. Metody całkowania w Matlabie 223

12. Równania różniczkowe zwyczajne – zagadnienie początkowe 224

12.1. Metoda Eulera 224

12.2. Ogólny wzór metod jednokrokowych 225

12.3. Zmodyfikowana metoda Eulera 226

12.4. Metoda Heuna 226

12.5. Metoda Rungego-Kutty 226

12.6. Globalny błąd dyskretyzacji metod jednokrokowych 230

12.7. Adaptacyjny dobór długości kroku w metodach jednokrokowych 231

12.8. Metoda Rungego-Kutty-Fehlberga i Dormanda-Prince’a 231

12.9. Ogólna postać metod wielokrokowych 234

12.10. Metoda Adamsa-Bashfortha 234

12.11. Metoda Adamsa-Moultona 235

12.12. Metoda punktu środkowego 236

12.13. Metoda Geara 237

12.14. Metody wyznaczania rozwiązania numerycznego zagadnienia początkowego w Matlabie 239

13. Równania różniczkowe cząstkowe – zagadnienia brzegowe 240

13.1. Metoda różnic skończonych 243

13.2. Warunek Neumanna w metodzie różnic skończonych 253

13.3. Obszar niejednorodny w metodzie różnic skończonych 256

13.4. Wprowadzenie do metody elementów skończonych 260

13.5. Wyprowadzenie metody elementów skończonych z metody wariacyjnej 263

13.6. Metoda elementów skończonych dla zagadnień trójwymiarowych 269

13.7. Zwiększanie dokładności obliczeń MES 271

14. Wybrane aspekty programowania w środowisku Matlab 273

14.1. Podstawy składni języka Matlab 273

14.2. Praktyczne uwagi dotyczące implementacji algorytmów w Matlabie 282

14.3. Optymalizacja kodu w środowisku Matlab 285

14.3.1. Indeksacja 286

14.3.2. Redukowanie iteratorów za pomocą iloczynów wektorów i macierzy 287

14.3.3. Tworzenie i zastosowanie macierzy pasmowych i blokowych 289

14.3.4. Zmienne i operacje symboliczne 291

Literatura 293

Skorowidz 294

• Titel: Metody numeryczne. Wykłady na Wydziale Elektrycznym Politechniki Warszawskiej
• Autor: Tomasz Markiewicz, Robert Szmurło, Stanisław Wincenciak
• ISBN: 978-83-781-4414-4, 9788378144144
• Veröffentlichungsdatum: 2021-02-01
• Format: E-book
• Artikelkennung: e_1xxj
• Verleger: Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej