Helion


Szczegóły ebooka

Płyty i membrany oraz skręcanie prętów pryzmatycznych

Płyty i membrany oraz skręcanie prętów pryzmatycznych


Książka jest przeznaczona dla studentów wyższych uczelni technicznych kształcących się na kierunku budownictwo oraz pracowników naukowych i inżynierów projektantów. W opracowaniu omówiono: podstawowe równania klasycznej teorii sprężystości materiałów izotropowych i anizotropowych, elementy teorii membran izotropowych i anizotropowych oraz swobodnego skręcania prętów pryzmatycznych, teorię izotropowych i anizotropowych płyt Kirchoffa, podstawowe sformułowania zagadnień brzegowych i metody ich rozwiązywania, zastosowanie pojedynczych i podwójnych szeregów Fouriera, a także zagadnienia dotyczące płyto-tarcz, płyt warstwowych i stateczności płyt. W pracy zamieszczono liczne przykłady rozwiązań zadań z podaniem ich wyników w formie graficznej, które uzupełniono interpretacją i przykładami potencjalnych zastosowań w budownictwie.

Rozdział I. Membrany izotropowe

1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany 13

2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych 15

3. Wybrane zagadnienia brzegowe 16

3.1. Ugięcie walcowe membrany 16

3.2. Membrana eliptyczna 19

3.3. Membrany kołowo symetryczne 21

3.4. Zastosowanie podwójnych szeregów sinusowych 22

3.5. Zastosowanie pojedynczych szeregów sinusowych 24

4. Drgania struny i membrany 25

Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia

membranowa

1. Wstęp 29

2. Skręcanie pręta o przekroju kołowym 30

3. Metoda półodwrotna i funkcja deplanacji 31

4. Funkcja naprężeń 34

5. Analogia membranowa 35

5.1. Membrany izotropowe obciążone równomiernie 35

5.2. Swobodne skręcanie prętów pryzmatycznych. Analogia membranowa Prandtla 36

6. O przybliżonych metodach rozwiązania równania Poissona 37

6.1. Metoda Galerkina i MES 38

6.2. Metoda Ritza 39

7. Przykłady 39

Rozdział III. Teoria płyt Kirchhoffa

1. Założenia i podstawowe zależności teorii płyt cienkich 49

1.1. Podstawowe założenia 49

1.2. Stan przemieszczenia 50

1.3. Stan odkształcenia 52

1.4. Stan naprężenia 52

1.5. Związki fizyczne PSN 53

1.6. Wyznaczenie składowych wektora naprężenia ścinającego 53

2. Lokalne równania równowagi i uogólnione siły wewnętrzne 54

3. Równanie przemieszczeniowe Germain-Lagrange’a 59

4. Zastępcze siły Kirchhoffa 59

5. Warunki brzegowe 61

6. Zagadnienia brzegowe i brzegowo-początkowe teorii płyt 61

7. Płyty spoczywające na sprężystym podłożu 63

8. Energia sprężystości i energia potencjalna w izotropowych płytach Kirchhoffa 64

9. O sformułowaniu zadania zginania płyty izotropowej w postaci dwóch równań różniczkowych cząstkowych 66

10. Hipotezy wytężeniowe w płytach 67

11. O metodach rozwiązania zadania teorii płyt 71

12. Uwagi historyczne 73

Rozdział IV. Płyty anizotropowe

1. Uwagi wstępne 77

2. Anizotropowe relacje konstytutywne PSN 77

3. Związek Hooke’a PSN w notacji Voigta. Materiał ortotropowy 78

4. Wyprowadzenie podstawowych równań teorii płyt anizotropowych 80

4.1. Płyty ortotropowe 81

4.2. Płyty anizotropowe 83

5. Przypadki szczególne, płyty ortotropowe, płyty o symetrii regularnej i płyty izotropowe 84

6. Płyty żelbetowe 85

7. Płyty o ortotropii technicznej 87

7.1. Zastępcze sztywności 87

7.2. Przykład oszacowania sztywności układu użebrowanego 90

Rozdział V. Przykłady zadań elementarnych

1. Zadania zginania płyty sprowadzalne do zagadnienia ugięć membrany 93

1.1. Czyste zginanie płyty izotropowej 93

1.2. Bezpośrednie zastosowanie rozwiązań zadania ugięcia membrany 94

1.3. Zginanie momentami mn trójkątnej płyty równobocznej 95

2. Utwierdzona płyta eliptyczna obciążona równomiernie 95

2.1. Płyta izotropowa 95

2.2. Płyta anizotropowa 101

3. Płyta prostokątna swobodnie podparta obciążona sinusoidalnie 105

4. Zginanie walcowe pasma płytowego 107

4.1. Zestawienie podstawowych równań 107

4.2. Przykłady 108

4.3. Jednorodne ortotropowe pasma płytowe 111

5. Jednorodne izotropowe pasma płytowe na sprężystym podłożu 112

5.1. Zależności podstawowe 112

5.2. Przykłady 113

6. Zagadnienie dynamiczne zginania walcowego 119

6.1. Sformułowanie zadania 119

6.2. Drgania swobodne 119

6.3. Funkcje Kryłowa-Pragera 120

6.4. Przykłady 121

6.5. Drgania wymuszone 123

Rozdział VI. Równania jednorodnych płyt izotropowych we współrzędnych biegunowych

1. Współrzędne biegunowe 125

1.1. Lokalna baza i kobaza oraz baza fizyczna 125

1.2. Gradient, dywergencja, laplasjan i bilaplasjan 126

2. Wyprowadzenie podstawowych równań teorii płyt izotropowych we współrzędnych biegunowych 128

 2.1. Układy współrzędnych kartezjańskich, walcowych i biegunowych 128

2.2. Kąty obrotu przekrojów poprzecznych płyty 129

2.3. Laplasjan i bilaplasjan oraz równanie różniczkowe ugięcia płyty 129

2.4. Tensor krzywizn i tensor momentów 130

2.5. Siły poprzeczne 131

2.6. Energia sprężystości 132

Rozdział VII. Płyty o symetrii kołowej

1. Podstawowe zależności 137

2. Ogólne rozwiązanie zadania ugięcia płyty o stałej sztywności 139

3. Najprostsze przykłady 141

3.1. Swobodnie podparta płyta kołowa obciążona momentem na brzegu 141

3.2. Płyta swobodnie podparta z podporą w środku 143

3.3. Płyta pierścieniowa swobodnie podparta na krawędzi zewnętrznej zginana równomiernie rozłożonymi momentami 143

4. Płyty kołowe i pierścieniowe obciążone równomiernie 151

4.1. Zestawienie podstawowych zależności 151

4.2. Swobodnie podparta płyta kołowa obciążona równomiernie 152

4.3. Utwierdzona płyta kołowa obciążona równomiernie 155

4.4. Porównanie rozwiązań w przypadkach płyty swobodnie podpartej i utwierdzonej 158

4.5. Płyta kominowa obciążona równomiernie 160

5. Pełne płyty kołowe obciążone siłą w środku 168

5.1. Podstawowe zależności 168

5.2. Utwierdzona płyta kołowa obciążona siłą w środku 170

5.3. Swobodnie podparta płyta kołowa obciążona siłą w środku 172

5.4. Uwagi o otrzymanych rozwiązaniach 174

6. Pełne płyty kołowe obciążone osiowo symetrycznie 176

6.1. Zestawienie podstawowych zależności 176

6.2. Płyty kołowe obciążone równomiernie p(r)=q0 179

6.3. Płyty kołowe obciążone liniowo wzdłuż promienia p(r)=q1r 179

6.4. Płyty kołowe o obciążeniu rozłożonym według stożka p(r)=q(1–r/R) 180

6.5. Płyty kołowe obciążone zgodnie z funkcją potęgową 181

7. Wybrane przykłady 181

7.1. Pełne płyty kołowe obciążone równomiernie na części obszaru 182

7.2. Płyta ze wspornikiem obciążona momentem 190

Rozdział VIII. Zastosowanie podwójnych szeregów trygonometrycznych

1. Podwójne szeregi sinusowe 197

1.1. Rozwiązanie ogólnego zadania Naviera 197

1.2. Przykład wyznaczenia współczynników obciążenia i ugięcia w podwójne szeregi sinusowe 201

1.3. Zestawienie wzorów na wielkości kinematyczne i statyczne 202

1.4. Płyty prostokątne na sprężystym podłożu 204

2. Przykłady zastosowania metody Naviera 204

2.1. Swobodnie podparta płyta prostokątna obciążona równomiernie 204

2.2. Swobodnie podparta płyta prostokątna obciążona siłą skupioną 216

2.3. Swobodnie podparta płyta prostokątna obciążona na linii 218

2.4. Przegubowo podparta płyta trójkątna obciążona siłą skupioną 221

3. Podwójne szeregi sinusowo-kosinusowe 222

4. Podwójne szeregi kosinusowo-kosinusowe 223

5. Podwójne szeregi trygonometryczne w płytach ortotropowych 224

Rozdział IX. Zastosowanie pojedynczych szeregów trygonometrycznych

1. Pojedyncze szeregi sinusowe 227

1.1. Rozwiązanie ogólnego zadania Lévy’ego 227

1.2. Zestawienie wzorów na wielkości kinematyczne i statyczne 229

2. Płyta utwierdzona na dwóch brzegach obciążona równomiernie 231

3. Nieograniczona płyta na sprężystym podłożu obciążona ciągiem sił skupionych działających w jednej linii 240

4. Zastosowanie szeregów pojedynczych w półpasmach 243

5. Pojedyncze szeregi trygonometryczne w płytach ortotropowych 248

6. Zginanie prostokątnej płyty ortotropowej obciążonej równomiernie 252

6.1. Sformułowanie i rozwiązanie zadania 252

6.2. Analiza wyników dla płyt zbrojonych włóknami 254

Rozdział X. Zastosowanie szeregów trygonometrycznych we współrzędnych biegunowych

1. Zestawienie podstawowych zależności 261

1.1. Uwagi wstępne 261

1.2. Płyty o kształcie koła i pierścienia obciążone niesymetrycznie 263

1.3. Płyty o kształcie wycinka koła 266

2. Przykłady wstępne 267

2.1. Sformułowanie rozpatrywanych zadań i zestawienie wzorów 267

2.2. Płyta pierścieniowa 268

2.3. Płyta kołowa zamknięta 269

2.4. Dyskusja rozwiązań 2.2 i 2.3 269

2.5. Płyta półkolista obciążona równomiernie 270

2.5.1. Płyta półkolista swobodnie podparta 271

2.5.2. Płyta półkolista swobodnie podparta na brzegu prostoliniowym i utwierdzona na brzegu krzywoliniowym 271

3. Płyta kominowa obciążona nierównomiernie 275

3.1. Sformułowanie zadania 275

3.2. Zestawienie podstawowych wzorów 276

 3.3. Warunki brzegowe i ciągłości w płycie kominowej 279

3.4. Rozwiązanie zadania 279

 3.5. Dyskusja rozwiązania 281

Rozdział XI. Metody wariacyjne w teorii płyt izotropowych

1. Metoda Ritza-Timoshenki 293

2. Metoda Bubnowa-Galerkina 294

3. Przykłady zastosowania metod wariacyjnych 295

3.1. Płyty kołowo symetryczne 295

3.2. Płyty prostokątne 299

Rozdział XII. Uogólnienia teorii płyt

1. Płyty Kirchhoffa obciążone gradientem temperatury 315

1.1. Obciążenie różnicą temperatury 315

1.2. Modyfikacja równań teorii płyt obciążonych temperaturą 315

1.3. Nieograniczona płyta obciążona gradientem temperatury 317

1.4. Płyta półpłaszczyznowa na sprężystym podłożu, obciążona gradientem temperatury 317

1.5. Pasmo równomiernie obciążone stałym gradientem temperatury 320

2. Superpozycja stanu tarczowego i płytowego 323

2.1. Stan przemieszczenia 323

 2.2. Stan odkształcenia 323

2.3. Stan naprężenia 324

2.4. Siły przekrojowe 325

2.5. Równania równowagi 326

2.6. Równania przemieszczeniowe 326

2.7. Warunki brzegowe 326

2.8. Zagadnienie brzegowe dla płyto-tarczy 327

3. Płyty warstwowe 327

3.1. Wyprowadzenie podstawowych zależności dla płyt warstwowych 328

3.2. Nieskończona płyta na sprężystym podłożu, obciążona równomiernie na pasie 331

4. Wybrane zagadnienia stateczności płyt Kirchhoffa 333

4.1. Wyboczenie prostokątnej płyty swobodnie podpartej na brzegach 333

4.2. Płyta swobodnie podparta w jednym kierunku i utwierdzona w drugim 337

4.3. Płyta swobodnie podparta na trzech brzegach i na jednym utwierdzona 339

4.4. Stateczność płyty swobodnie podpartej obciążonej w dwóch kierunkach 340

Dodatek. Podstawowe równania teorii sprężystości materiałów anizotropowych

1. Sformułowanie zadania brzegowego 343

2. Podstawowe wnioski wynikające z własności tensorów Hooke’a 345

3. Standardowa notacja Voigta 347

4. Techniczne „stałe sprężystości” i ich interpretacja 347

5. Reprezentacje tensorów Hooke’a w szczególnych przypadkach anizotropii 349

6. Zagadnienia brzegowe liniowej teorii sprężystości jednorodnych materiałów izotropowych 350

6.1. Sformułowanie zadania statyki 350

6.2. Sformułowanie zadania brzegowego w przemieszczeniach 351

7. Macierze sztywności i podatności materiału ortotropowego 353

8. Tarcze 355

9. Zagadnienie wyznaczenia trajektorii wartości własnych tensorów płaskich drugiego rzędu 356

10. Uwagi o hipotezach wytężeniowych 359 Literatura 360

Bibliografia 361