Helion


Szczegóły ebooka

Algebra liniowa

Algebra liniowa


Jest to najnowsza wersja podstawy wykładów i ćwiczeń dla studentów informatyki, prowadzonych przez autora na Uniwersytecie Gdańskim, Politechnice Gdańskiej i w Państwowej Wyższej Szkole Zawodowej w Elblągu.

Treść obejmuje: podstawowe struktury algebraiczne, liczby zespolone, wielomiany, macierze, układy równań liniowych, wyznaczniki, przestrzeń wektorową, przekształcenia liniowe, iloczyn skalarny i ortogonalność wektorów, wartości własne, formy kwadratowe i elementy geometrii analitycznej.

Teorię przedstawiono w sposób czytelny i ścisły, dowodząc prawie wszystkie twierdzenia. Ważniejsze pojęcia, twierdzenia i metody algebry liniowej zilustrowane są w ponad 300 rozwiązanych przykładach. Do zrozumienia materiału wystarczą standardowe wiadomości i umiejętności matematyczne na poziomie szkoły średniej.
 

Przedmowa    7

Rozdział 1. Podstawowe struktury algebraiczne    9

1.1 . Działania i ich własności    9
1.2 . Grupa i jej podgrupy    12
1.3 . Pierścień i ciało    17
1.4 . Ćwiczenia podsumowujące    20

Rozdział 2. Liczby zespolone    21

2.1 . Liczby zespolone i działania na liczbach zespolonych    21
2.2 . Sprzężenie liczby zespolonej    26
2.3 . Moduł liczby zespolonej    27
2.4 . Postać trygonometryczna liczby zespolonej    29
2.5 . Pierwiastkowanie liczb zespolonych    35
2.6 . Wzory Eulera    40
2.7 . Postać wykładnicza liczby zespolonej    43
2.8 . Ćwiczenia podsumowujące    44

Rozdział 3. Wielomiany    46

3.1 . Pierścień wielomianów    46
3.2 . Podzielność wielomianów    49
3.3 . Schemat Hornera    52
3.4 . Pierwiastki wielomianów    54
3.5 . Wielomiany względnie pierwsze    62
3.6 . Funkcje wymierne i ułamki proste    64
3.7 . Ćwiczenia podsumowujące    71

Rozdział 4. Macierze    73

4.1 . Podstawowe Definicje    73
4.2 . Działania na macierzach    75
4.3 . Macierz odwrotna    85
4.4 . Ślad macierzy kwadratowej    90
4.5 . Ćwiczenia podsumowujące    92

Rozdział 5. Układy równań liniowych    94

5.1 . Podstawowe Definicje i fakty    94
5.2 . Równania macierzowe    109
5.3 . Kolejne własności macierzy odwracalnej    112
5.4 . Wyznaczanie macierzy odwrotnej    114
5.5 . Struktura rozwiązań układu równań liniowych    116
5.6 . Ćwiczenia podsumowujące    118

Rozdział 6. Wyznaczniki    121

6.1 . Definicja i pierwsze własności wyznacznika    121
6.2 . Wyznacznik iloczynu macierzy    134
6.3 . Macierze odwracalne i nieosobliwe    136
6.4 . Wyznacznik macierzy podobnych    139
6.5 . Układy równań i wzory Cramera    139
6.6 . Ćwiczenia podsumowujące    143

Rozdział 7. Przestrzeń wektorowa    146

7.1 . Przestrzeń wektorowa i jej podprzestrzenie    146
7.2 . Kombinacje liniowe wektorów    153
7.3 . Przestrzeń kolumnowa macierzy    157
7.4 . Liniowa zależność i liniowa niezależność wektorów    161
7.5 . Baza przestrzeni wektorowej    167
7.6 . Rząd macierzy    176
7.7 . Współrzędne wektora    179
7.8 . Suma i suma prosta podprzestrzeni    188
7.9 . Ćwiczenia podsumowujące    192

Rozdział 8. Przekształcenie liniowe    194

8.1 . Definicja przekształcenia liniowego    194
8.2 . Jądro i obraz przekształcenia liniowego    200
8.3 . Mono- i epimorficzność przekształcenia liniowego    205
8.4 . Suma i złożenie przekształceń liniowych    208
8.5 . Macierz przekształcenia liniowego    209
8.6 . Odwracalność odwzorowania liniowego    217
8.7 . Podobieństwo macierzy    221
8.8 . Ćwiczenia podsumowujące    225

Rozdział 9. Iloczyn skalarny i ortogonalność wektorów    227

9.1 . Definicja i przykłady iloczynów skalarnych    227
9.2 . Kąt pomiędzy wektorami    233
9.3 . Ortogonalność wektorów    234
9.4 . Ortogonalizacja bazy    238
9.5 . Dopełnienie ortogonalne    240
9.6 . Rzut ortogonalny    242
9.7 . Macierz rzutu ortogonalnego    245
9.8 . Metoda najmniejszych kwadratów    248
9.9 . Najlepsze rozwiązanie układu równań    249
9.10 . Dopasowanie prostej    251
9.11 . Macierz i przekształcenie ortogonalne    253
9.12 . Ćwiczenia podsumowujące    256

Rozdział 10. Wartości własne i wektory własne    259

10.1 . Wartości własne i wektory własne macierzy i operatora    259
10.2 . Diagonalizowalność macierzy i operatora liniowego    265
10.3 . Diagonalizacja macierzy symetrycznej    273
10.4 . Potęga macierzy diagonalizowalnej    278
10.5 . Granica ciągu macierzy    279
10.6 . Podprzestrzenie niezmiennicze    282
10.7 . Twierdzenie Cayleya-Hamiltona    285
10.8 . Zależności rekurencyjne    289
10.9 . Ćwiczenia podsumowujące    293

Rozdział 11. Formy kwadratowe    295

11.1 . Rzeczywista forma kwadratowa    295
11.2 . Postać kanoniczna formy kwadratowej    297
11.3 . Określoność macierzy i formy kwadratowej    304
11.4 . Ćwiczenia podsumowujące    310

Rozdział 12. Elementy geometrii analitycznej    312

12.1 . Iloczyn wektorowy wektorów    312
12.2 . Iloczyn mieszany wektorów    315
12.3 . Prosta i płaszczyzna    317
12.4 . Ćwiczenia podsumowujące    332

Bibliografia    334
Indeks    335