Przedmowa 11

Rozdział I. Teoria płyt Kirchhoffa 13

1. Założenia i podstawowe zależności 13

1.1. Podstawowe założenia 13

1.2. Stan przemieszczenia i odkształcenia 14

1.3. Stan naprężenia i izotropowe związki fizyczne 15

1.4. Wyznaczenie składowych wektora naprężenia ścinającego 16

2. Lokalne równania równowagi i uogólnione siły wewnętrzne 17

2.1. Momenty i siły poprzeczne 17

2.2. Równania równowagi płyty 19

2.3. Siły i momenty wewnętrzne w funkcji pochodnych ugięcia płyty 20

3. Równanie przemieszczeniowe Germain-Lagrange’a 21

4. Zastępcze siły Kirchhoffa 22

5. Zagadnienia brzegowe teorii płyt 24

6. Płyty spoczywające na sprężystym podłożu 26

7. Wyprowadzenie podstawowych równań teorii płyt anizotropowych 27

7.1. Płyty ortotropowe 27

7.2. Płyty anizotropowe oraz przypadki szczególne, płyty ortotropowe, płyty o symetrii regularnej i płyty izotropowe 30

8. Płyty o ortotropii technicznej 33

Rozdział II. Zginanie walcowe pasm płytowych 36

1. Zginanie walcowe izotropowych lub ortotropowych pasm płytowych 36

1.1. Płyty izotropowe 36

1.2. Jednorodne ortotropowe pasma płytowe 39

2. Statycznie wyznaczalne i statycznie niewyznaczalne zginanie walcowe pasm płytowych 40

2.1. Równania równowagi i uwagi o rozwiązywaniu zadań statycznie wyznaczalnych 40

2.2. Przykłady zadań statycznie wyznaczalnych i niewyznaczalnych 43

2.2.1. Płyta swobodnie podparta obciążona równomiernie 43

2.2.2. Płyta wspornikowa 46

2.2.3. Pasmo płytowe statycznie niewyznaczalne 51

2.2.4. Pasmo płytowe statycznie niewyznaczalne – zastosowanie programu Mathematica 52

3. Przykładowe zadania dotyczące zginania pasm płytowych 54

3.1. Pasma płytowe o rozwiązaniach bez całek szczególnych 54

3.1.1. Podstawowe równania 54

3.1.2. Pasmo płytowe swobodnie podparte, obciążone na brzegu momentami 55

3.1.3. Pasmo swobodnie podparte, obciążone wzdłuż linii w środku rozpiętości 58

3.2. Pasma płytowe o rozwiązaniach z całkami szczególnymi 60

3.2.1. Podstawowe równania 60

3.2.2. Pasmo utwierdzone, obciążone równomiernie 60

3.2.3. Pasmo wspornikowe obciążone równomiernie 63

3.2.4. Pasmo płytowe na jednym brzegu swobodnie podparte, a na drugim utwierdzone, obciążone równomiernie 64

4. Zastosowanie dystrybucji Diraca i funkcje Greena 65

4.1. Dystrybucje Diraca i Heaviside’a 65

4.2. Pasmo płytowe swobodnie podparte, obciążone wzdłuż prostej 67

4.2.1. Rozwiązanie zadania brzegowego z zastosowaniem dystrybucji 67

4.2.2. Funkcje Greena dla pasma płytowego swobodnie podpartego 70

4.3. Funkcje Greena i ich zastosowanie w typowych pasmach płytowych 71

4.3.1. Funkcje Greena i zasada superpozycji 71

4.3.2. Przykłady zastosowania funkcji Greena 72

4.4. Funkcje Greena w programie Mathematica 75

5. Pasma płytowe o zmiennej sztywności 78

5.1. Podstawowe równania 78

5.2. Pasmo płytowe o zmiennym module Younga swobodnie podparte, obciążone równomiernie 79

5.3. Zastosowanie programu Mathematica  do zagadnień pasm o zmiennej wysokości 80

Rozdział III. Zginanie walcowe pasma płytowego na sprężystym podłożu 84

1. Zależności podstawowe 84

1.1. Rozwiązanie jednorodnego równania różniczkowego na ugięcie płyty 84

1.2. Uwagi o rozwiązaniu zadania pasma płytowego obciążonego równomiernie 85

2. Przykłady wstępne 89

2.1. Nieskończona płyta obciążona momentem rozłożonym na linii 89

2.2. Płyta w kształcie półpłaszczyzny obciążona równomiernie na brzegu 91

2.3. Nieskończona płyta obciążona równomiernie na linii 93

3. Symetryczne pasma płytowe 101

3.1. Podstawowe zależności 101

3.2. Zadania bez całki szczególnej 101

3.2.1. Płyta swobodnie spoczywająca na sprężystym podłożu, obciążona momentami na brzegu 101

3.2.2. Płyta swobodnie podparta, obciążona momentami na brzegu 104

3.2.3. Płyta swobodnie spoczywająca na sprężystym podłożu, obciążona siłami na brzegu 106

3.3. Pasma płytowe obciążone równomiernie 106

3.3.1. Płyta swobodnie podparta, równomiernie obciążona 106

3.3.2. Płyta utwierdzona, równomiernie obciążona 107

3.4. Wybrane przykłady i ćwiczenia 108

4. Przykłady – płyty w kształcie płaszczyzny lub półpłaszczyzny 108

4.1. Nieskończona płyta na sprężystym podłożu obciążona na pasie 108

4.2. Płyta w kształcie półpłaszczyzny obciążona na pasie przy brzegu 112

5. Pasma płytowe 114

5.1. Pasmo równomiernie obciążone na linii 114

5.2. Pasmo obciążone równomiernie na powierzchni i siłą na linii 116

Rozdział IV. Zależności teorii płyt anizotropowych w zapisie tensorowym 121

1. Podstawowe równania i zależności liniowej teorii sprężystości 121

1.1. Uwagi wstępne 121

1.2. Sformułowanie zagadnienia brzegowego 122

2. Sformułowanie zadania statyki płyt w notacji absolutnej 124

2.1. Płyty izotropowe 124

2.2. Płyty anizotropowe 128

3. Energia sprężystości w płytach izotropowych i anizotropowych 130

4. Płyty z kompozytów włóknistych 131

4.1. Płaski stan naprężenia, matryca zbrojona kilkoma rodzinami włókien 131

4.2. Typy symetrii materiału 132

4.3. Przykłady 133

5. Płyty żelbetowe 134

6. Przykłady ilustrujące podstawowe zależności i równania teorii płyt 136

6.1. Trójkątna płyta równoboczna 136

6.1.1. Swobodnie podparta płyta, obciążona równomiernie na brzegach rozłożonymi momentami 136

6.1.2. Swobodnie podparta płyta, obciążona równomiernie 139

6.2. Zastosowanie rozwiązań osobliwych 142

6.3. Utwierdzona anizotropowa płyta eliptyczna obciążona równomiernie 146

Rozdział V. Równania jednorodnych płyt izotropowych we współrzędnych biegunowych 151

1. Układy współrzędnych kartezjańskich, walcowych i biegunowych 151

2. Współrzędne biegunowe 152

2.1. Lokalna baza i kobaza oraz baza fizyczna 152

2.2. Gradient, dywergencja, laplasjan i bilaplasjan 154

3. Wyprowadzenie podstawowych równań teorii płyt izotropowych we współrzędnych biegunowych 156

3.1. Kąty obrotu przekrojów poprzecznych płyty 156

3.2. Laplasjan i bilaplasjan oraz równanie różniczkowe ugięcia płyty 157

3.3. Tensor krzywizn i tensor momentów 158

3.4. Siły poprzeczne 159

Rozdział VI. Płyty o symetrii kołowej 161

1. Ogólne rozwiązanie zadania zginania izotropowych płyt kołowych i pierścieniowych 161

2. Ćwiczenia wstępne 167

2.1. Zależności podstawowe 167

2.2. Przykłady 168

2.2.1. Swobodnie podparta płyta kołowa obciążona momentem na brzegu 168

2.2.2. Płyta swobodnie podparta i płyta utwierdzona obciążona równomiernie 170

2.2.3. Płyta pierścieniowa obciążona równomiernie 177

2.2.4. Płyty pierścieniowe obciążone na brzegu równomiernie rozłożonymi siłami 179

2.2.5. Płyta swobodnie podparta i płyta utwierdzona obciążona siłą skupioną 183

2.3. Uwagi o funkcji Greena dla płyt nieograniczonych 186

3. Pełne płyty kołowe 187

3.1. Pełne płyty kołowe utwierdzone i swobodnie podparte 187

3.2. Płyty z podporą w środku 189

3.2.1. Płyta swobodnie podparta z podporą w środku, obciążona na brzegu równomiernie rozłożonymi momentami 189

3.2.2. Płyty obciążone równomiernie 192

4. Płyty pierścieniowe 195

4.1. Płyty pierścieniowe obciążone równomiernie 195

4.1.1. Podstawowe wzory 195

4.1.2. Przykłady 196

4.2. Zadania bez całek szczególnych 198

4.2.1. Swobodnie podparta płyta kołowa z otworem obciążona momentem na brzegu 198

4.2.2. Utwierdzona płyta kołowa z otworem obciążona momentem na brzegu 200

5. Płyty ze wspornikiem 205

5.1. Płyta ze wspornikiem obciążona momentem 205

5.2. Płyta ze wspornikiem obciążona równomiernie 207

6. Wybrane zadania 208

6.1. Pełne płyty kołowe obciążone równomiernie na części obszaru 208

6.2. Płyty wieloprzęsłowe 211

7. Płyty kołowo symetryczne na sprężystym podłożu – zastosowanie programu Mathematica 211

Rozdział VII. Podwójne szeregi trygonometryczne Fouriera w zastosowaniu do zagadnień brzegowych teorii płyt 218

1. Podwójne szeregi sinusowe 218

1.1. Rozwiązanie zadania Naviera 218

1.2. Zestawienie wzorów na wielkości kinematyczne i statyczne 222

1.3. Płyty prostokątne na sprężystym podłożu 224

1.4. Przykłady wyznaczania współczynników obciążenia i ugięcia płyty w podwójnych szeregach sinusowych 225

1.4.1. Płyta swobodnie podparta, obciążona siłą skupioną 225

1.4.2. Płyta swobodnie podparta, obciążona siłami rozłożonymi równomiernie na linii 226

1.4.3. Płyty swobodnie podparte, obciążone powierzchniowo 227

1.5. Zasada superpozycji i funkcja Greena 236

1.6. Trajektorie krzywizn i momentów głównych 240

1.7. Płyta w postaci prostokątnego trójkąta równoramiennego 242

2. Podwójne szeregi trygonometryczne w płytach ortotropowych 243

2.1. Podstawowe zależności 243

2.2. Przykłady 246

3. Podwójne szeregi sinusowo-kosinusowe 249

3.1. Podstawowe zależności 249

3.2. Przykłady zastosowania szeregów kosinusowo-sinusowych 250

3.2.1. Obciążenie na linii 250

3.2.2. Obciążenie na linii – zginanie walcowe 251

3.2.3. Obciążenie siłą punktową 252

3.2.4. Półpasmo obciążone periodycznie 253

4. Podwójne szeregi kosinusowo-kosinusowe 255

4.1. Podstawowe zależności 255

4.2. Przykłady zastosowania szeregów kosinusowo-kosinusowych 257

4.2.1. Płyta spoczywająca na słupie, obciążona siłą skupioną 257

4.2.2. Płyta spoczywająca na słupie, obciążona równomiernie na powierzchni prostokąta 258

5. Wybrane przykłady zastosowania podwójnych szeregów trygonometrycznych 259

5.1. Uwagi o zastosowaniach podwójnych szeregów trygonometrycznych 259

5.2. Płyty wzmocnione żebrem 259

6. Zastosowanie podwójnych szeregów sinusowych w programie Mathematica 262

6.1. Płyta swobodnie podparta, obciążona punktowo 262

6.2. Płyta swobodnie podparta, obciążona wzdłuż krzywej 266

Rozdział VIII. Zastosowanie pojedynczych szeregów trygonometrycznych Fouriera 269

1. Płyty izotropowe 269

1.1. Rozwiązanie ogólnego zadania Lévy’ego 269

1.2. Przykłady 273

2. Pojedyncze szeregi trygonometryczne w płytach ortotropowych 275

2.1. Dyskusja ogólnych rozwiązań zadania zginania płyt 275

2.2. Przykłady określania typu rozwiązania zadania dla różnych materiałów ortotropowych 278

3. Płyty izotropowe i ortotropowe na sprężystym podłożu 281

4. Zastosowanie szeregów pojedynczych w półpasmach 283

4.1. Ogólne zależności 283

4.2. Przypadki szczególne podparcia półpasma płytowego 285

4.2.1. Utwierdzenie z przesuwem – zginanie walcowe 285

4.2.2. Brzeg swobodnie podparty 287

4.2.3. Utwierdzenie 288

4.2.4. Brzeg swobodny 290

4.3. Przykłady pasm i półpasm płytowych o różnych warunkach brzegowych 292

5. Płyty symetryczne 297

5.1. Uwagi wstępne 297

5.2. Płyty izotropowe 298

5.2.1. Płyta prostokątna swobodnie podparta 298

5.2.2. Płyta na dwóch brzegach swobodnie podparta i na dwóch brzegach utwierdzona300

5.2.3. Płyta na dwóch brzegach swobodnie podparta i na dwóch brzegach swobodna 301

5.3. Płyty ortotropowe 302

5.3.1. Płyta na dwóch brzegach swobodnie podparta i na dwóch brzegach utwierdzona 302

6. Płyty o różnych warunkach brzegowych 304

6.1. Uwagi 304

6.2. Swobodnie podparta płyta prostokątna zginana momentami rozłożonymi wzdłuż krawędzi 306

6.2.1. Obciążenie symetryczne 307

6.2.2. Obciążenie antysymetryczne 308

6.2.3. Obciążenie dowolne 309

6.3 Wybrane przykłady 309

Rozdział IX. Zastosowanie szeregów trygonometrycznych Fouriera we współrzędnych biegunowych 311

1. Zestawienie podstawowych zależności 311

1.1. Uwagi wstępne 311

1.2. Płyty o kształcie koła i pierścienia obciążone niesymetrycznie 313

2. Płyty o kształcie wycinka koła lub pierścienia – zastosowanie pojedynczych szeregów sinusowych 316

2.1. Podstawowe zależności 316

2.2. Płyta półkolista obciążona równomiernie 318

2.2.1. Płyta półkolista swobodnie podparta 319

2.2.2. Płyta półkolista swobodnie podparta na brzegu prostoliniowym i utwierdzona na brzegu krzywoliniowym 320

3. Płyty kołowe, pierścieniowe i półkoliste z niesymetrycznym obciążeniem liniowym 321

3.1. Sformułowanie rozpatrywanych zadań i zestawienie wzorów 321

3.2. Płyta pierścieniowa 322

3.3. Płyta kołowa zamknięta 323

3.4. Przykłady 324

Rozdział X. Metody wariacyjne 327

1. Metody Ritza-Timoshenki i Bubnowa-Galerkina 327

1.1. Uwagi wstępne 327

1.2. Metoda Ritza-Timoshenki 328

1.3. Metoda Bubnowa-Galerkina 329

2. Przykłady wstępne 330

2.1. Zginanie walcowe płyt obustronnie utwierdzonej i obustronnie swobodnie podpartej 330

2.1.1. Płyta utwierdzona 330

2.1.2. Płyta swobodnie podparta 332

2.1.3. Różne przykłady obciążenia 333

2.2. Zginana walcowo płyta na jednym z brzegów utwierdzona 338

2.2.1. Swobodnie podparty drugi brzeg płyty 338

2.2.2. Płyta wspornikowa 339

2.3. Płyta prostokątna przegubowo podparta na wszystkich brzegach 341

2.3.1. Obciążenie równomierne 341

2.3.2. Obciążenie w środku siłą skupioną 343

2.3.3. Płyta ortotropowa 344

2.4. Płyta prostokątna na dwóch brzegach przegubowo podparta, zaś na dwóch utwierdzona, obciążona siłą skupioną w środku 346

2.4.1. Metoda R-T 347

2.4.2. Metoda B-G 348

2.4.3. Płyta ortotropowa 349

2.5. Utwierdzona płyta prostokątna 350

2.5.1. Płyta izotropowa 350

2.5.2. Płyta ortotropowa 352

3. Przykłady zastosowania metod wariacyjnych w przypadku płyt kołowo symetrycznych 353

3.1. Funkcja energii sprężystości 353

3.2. Płyta kołowa utwierdzona na obwodzie 354

3.3. Płyta kołowa podparta przegubowo na obwodzie 360

3.3.1. Płyta kołowa podparta przegubowo, obciążona równomiernie 360

3.3.2. Płyta kołowa podparta przegubowo na obwodzie, obciążona siłą P w środku 364

3.4. Płyta kołowa na sprężystym podłożu obciążona siłą w środku 367

3.5. Wybrane przykłady zagadnień kołowo symetrycznych 369

Dodatek. Przykłady rozwiązań zadań brzegowych w programie Mathematica 371

1. Elementy środowiska pakietu Mathematica 371

2. Przykłady rozwiązań zadań izotropowych płyt Kirchhoffa 375

2.1. Zginanie walcowe na podłożu Winklera z uwzględnieniem więzów jednostronnych 375

2.2. Funkcja Greena w podwójnych szeregach sinusowych 379

2.3. Płyta swobodnie podparta, obciążona na obszarze trójkątnym 379

2.4. Płyta swobodnie podparta, obciążona na obszarze kołowym 383

2.5. Płyta swobodnie podparta, obciążona momentami równomiernie na dwóch krawędziach 387

3. Przykłady zastosowania metod aproksymacyjnych do rozwiązywania zadań anizotropowych płyt Kirchhoffa 389

3.1. Płyta o ortotropii technicznej utwierdzona na wszystkich brzegach 390

3.2. Płyta o ortotropii technicznej swobodnie podparta na wszystkich brzegach 395

Bibliografia 398

• Titel: Płyty izotropowe i anizotropowe. Zbiór zadań ze statyki
• Autor: Stanisław Jemioło, Aleksander Łukasz Franus
• ISBN: 978-83-8156-396-3, 9788381563963
• Veröffentlichungsdatum: 2022-11-03
• Format: E-book
• Artikelkennung: e_2z41
• Verleger: Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej